Gleichungen kennt ihr sicher schon, z.B. die Funktion $y=2\cdot{}x+5$ (Funktionen sind auch Gleichungen). Diese Funktion gibt für jeden Wert $x$ einen bestimmten Wert $y$ zurück. Wenn jetzt die Frage gestellt wird, ob ein Punkt $P(x_o/y_o)$ auf dem Graph $G_f$ liegt, setzen wir einfach $x_o$ für $x$ ein und prüfen, ob der durch die Funktion errechnete Wert $y$ der Koordinate $y_o$ unseres Punktes entspricht.

Jetzt wollen wir unseren Blick von den algebraischen Funktionen abwenden. Wir wollen nicht prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, sondern ob ein Punkt auf einer Gerade im Raum liegt. Ähnlich wie wir eine Gleichung für unsere Funktion aufgestellt haben, können wir auch für unsere Gerade eine Gleichung aufstellen. Die Geradengleichung.

Eine Gerade wird durch einen Punkt und einen Richtungsvektor ausgedrückt. Der Punkt gibt an, wo die Gerade liegt. Der Richtungsvektor zeigt, in welche Richtung die Gerade verläuft. Nutzt die Simulation und verschiebt Punkt und Richtungsvektor, um zu verstehen wie sie funktionieren und was die Verschiebung bewirkt. Den Richtungsvektor kannst du verschieben, in dem du $U$ anfässt.

Wir drücken jetzt den Punkt, welcher unsere Gerade beschreibt, als Vektor aus. Wenn wir jetzt zu diesem Vektor unseren Richtungsvektor addieren, erhalten wir einen Punkt auf der Gerade. Durch das skalieren des Richtungsvektors erhalten wir unterschiedliche Punkte auf der Geraden.

Diese Berechnung kann man nun leicht als Gleichung ausdrücken.

$\overrightarrow{X} = \overrightarrow{p}+\lambda\cdot\overrightarrow{u}$

Voila, unsere Geradengleichung. $\overrightarrow{p}$ ist der Vektor zu unserem Punkt. $\overrightarrow{u}$ ist der Richtungsvektor, welcher die Gerade angibt. $\lambda$ ist der Wert, welcher den Richtungsvektor skaliert. So können wir mit dieser Funktion alle beliebige Punkte auf der Gerade ausdrücken.

Ähnlich wie bei den algebraischen Funktionen können wir allerdings auch hier prüfen, ob ein bestimmter Punkt auf der Geraden liegt. Das soll mit einem Beispiel erklährt werden.

Unser Punkt auf der Geraden ist $\overrightarrow{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Der Richtungsvektor ist $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der zu prüfende Punkt ist $\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Nun nehmen wir unsere Gleichung und ersetzen $\overrightarrow{X}$ mit dem zu prüfenden Punkt. $\overrightarrow{p}$ und $\overrightarrow{u}$ sind bereits durch unsere Gerade definiert. Dadurch ergibt sich: $\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Jetzt gilt es, $\lambda$ auszurechnen. Stellt sich nur die Frage wie das gehen soll. Um $\lambda$ auszurechnen, teilen wir unsere Gleichung in zwei Teilgleichungen auf, die sozusagen Gleichungen der einzelnen Achsen darstellen. (Warum wird im folgenden erläutert)

• $4 = 2+\lambda\cdot1$
• $5 = 3+\lambda\cdot1$

Die 1. Gleichung behandelt im Endeffekt die X-Komponente der Vektoren, die 2. Gleichung die Y-Komponente. Sollte der Punkt auf der Geraden liegen, muss $\lambda$ für alle Achsen gleich sein. Diese Simulation zeigt, dass ein Punkt nicht auf der Geraden liegt, falls die einzelnen Komponenten (X und Y) des Richtungsvektors unterschiedlich skaliert werden. Mit den Schiebereglern könnt ihr die einzelnen komponenten des Richtungsvektors einzeln skalieren!

Für alle Achsen muss der Richtungsvektor gleich skaliert werden. Wenn wir die obigen Gleichungen umformen erhalten wir $\lambda = 2$ für beide Gleichungen. Daraus können wir schließen, dass der Punkt auf der Geraden liegt.