Ähnlich wie bei den Lagebeziehungen zwischen zwei Gereaden gibt es auch hier ein einfaches Schema, die Beziehungen zu prüfen.

Es gibt drei unterschiedliche Lagebeziehungen einer Geraden zu einer Ebene.

Ebene und Gerade schneiden sich in einem Punkt

Das muss man sich ein wenig vorstellen, wie eine Nadel, die man gerade durch ein Stück stoff zieht. Dabei ist das Stück stoff die Ebene und die Nade die Gerade An einem bestimmten Punkt wird die Nadel den Stoff berühren; das ist der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene.

Vorraussetzung für einen gemeinsamen Punkt ist, dass die Ebene und die Gerade nicht parallel zueinander liegen, denn wenn sie das wären, würden sie sich nie schneiden, wie das folgende Beispiel veranschaulicht.

Hast du eine Idee, wie wir prüfen könnten, ob sie parallel zueinander liegen? Richtig! Skalarprodukt!. Ist das Skalarprodukt von Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade $0$, wissen wir, dass sie senkrecht zueinander stehen und somit die Gerade und die Ebene parallel. Deshalb gibt es dann keinen Schnittpunkt. Ist es $!= 0$ können wir fortfahren mit der Berechnung des Schnittpunktes.

Der Schnittpunkt muss sowohl auf der Ebene, als auch auf der Gerade liegen.

Beispiel:

$$g: \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$$ $$E: \begin{pmatrix} 3\\-1\\-1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Eine Möglichkeit (eventuell allerdings nicht die schnellste) ist das Gleichsetzen und Lösen.

Das funktioniert, dauert allerdings seeeehr lange. Mit anderen Darstellungen der Ebenengleichung können wir das Ganze etwas beschleunigen.

Als Zutaten benötigen wir eine Geradengleichung und eine Ebenengleichung in Koordinatendarstellung.

$$g: \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$$ $$E: 1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 + 1 = 0$$

Man nehme die einzelnen Komponenten der Geradengleichung und setze sie in die Ebenengleichung ein.

$$1 \cdot (1 + 2t) + 2 \cdot t + 2 \cdot (3 + 2t) + 1 = 0$$

Wir stellen uns damit die Frage: Welchen Wert muss t im Schnittpunkt haben?

$$\begin{aligned} 1 \cdot (1 + 2t) + 2 \cdot t + 2 \cdot (3 + 2t) + 1 &= 0 && \lvert \; ausmultiplizieren \\ 1 + 2t + 2t + 6 + 4t + 1 &= 0 \\ 8 + 8t &= 0 && \lvert \; -8t \; \div8 \\ t &= -1 \end{aligned}$$

Setzen wir nun t in unsere Geradengleichung ein, erhalten wir den Schnittpunkt:

$$\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} -1 \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix}$$

Ebene und Gerade sind parallel

In diesem Fall haben die Gerade und die Ebene keine gemeinsamen Punkte!

Dieser Fall liegt vor, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade $0$ beträgt!

Ebene und Gerade liegen ineinander

In diesem Fall haben die Gerade und die Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte!

Hast du geprüft, ob die beiden geometrischen Objekte parallel zueinander liegen, kannst du prüfen, ob der Aufpunkt der Geraden in der Ebene liegt. Ist das der fall, liegt die Gerade genau in der Ebene!