Die hessesche Normalenform

Wie der Name schon impliziert ist die hessesche Normalenform eine besondere Form der Normalenform. Wie wir wissen, gibt der Normalenvektor die "Richtung" der Ebene an, da definiert ist, dass der Normalenvektor immer senkrecht auf der Ebene steht. Die Länge dieses Vektors war bisher völlig irrelevant. Otto Hesse hat der Normalenform noch eine Besonderheit verpasst. Die Länge des Normalenvektors muss $1$ sein. Nun mag sich der ein oder andere vielleicht fragen, was das für einen Sinn hat. Es wird sich allerdings herrausstellen, dass dies einen enormen Nutzen in der Abstandsbestimmung hat.

Um also die hssesche Normalenform zu bilden, müssen wir die Länge des Normalenvektors auf $1$ bringen. Das wird auch Normieren genannt.

Ein Vektor wird normiert, in dem man ihn durch seine Länge teilt. Ist der Vektor $2.5$ lang, teilen wir den Vektor durch $2.5$, wodurch wir ihn skalieren und einen Einheitsvektor der Länge $1$ erhalten. Der Einheitsvektor zeigt dabei immernoch in die gleiche Richtung!

Allgemein bedeutete das $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{n} \vert}$. Das sogenannte Zirkumflex $\; \hat{} \;$ beschreibt einen Einheitsvektor.

Wir skalieren also einen Vektor, indem wir alle seine Komponenten mit einem Wert multiplizieren / durch einen Wert teilen. Um von der Normalenform zur hesseschen Normalenform zu gelangen, teilen wir sie einfach durch die Länge des Normalenvektors.

$$\frac{n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 + c}{\vert \overrightarrow{n} \vert} = 0$$

Das funktioniert, da in der Normalenform jedes Polynom / jeder Summand eine Komponente des Normalenvektors als Faktor enthält. Somit bewirkt die Division durch die Länge des Normalenvektors hier auch einfach eine Skalierung.

Die hessesche Normalenform hat noch eine weitere Bedingung. Der Normalenvektor muss vom Koordinatenursprung wegzeigen. Oder anders formuliert: Er muss sich auf der gegenüberliegenden Seite des Ursprungs "befinden". Mathmatisch ausgedrückt muss $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{A} >= 0$ sein. Das spielt bei der im Folgenden erklährten Abstandsbestimmung im Prinzip keine Rolle, aber um zu definieren, auf welcher Seite der Ebene sich ein Punkt befindet, ist es relevant.

Annäherung an die hessesche Normalenform über das Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt lässt sich irgendein Winkel ausrechnen. Das weis man vielleichgt aus weit entfernten Mathematik Stunden noch. Mit dem Skalarprodukt geht aber noch viel mehr!

Zunächst wollen wir uns im Zweidimensionalen aufhalten, da Einiges leichter zu erklähren ist. Alle Erklährungen lassen sich genauso auf drei Dimensionen anwenden.

Folgende Simulation zeigt zwei Vektoren und das Skalarprodukt zwischen diesen.

$\overrightarrow{n}$ zeigt in positive X-Richtung. Durch Bewegung des zweiten Vektors stellen wir fest, dass solange dieser senkrecht nach oben oder unten liegt, das Skalarprodukt $0$ beträgt. Macht Sinn, denn der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt dann $90°$ Verschiebt man den Vektor allerdings ins positive, ist das Skalarprodukt positiv, genau andersherum ist es im negativen. Tatsächlich gibt das Skalarprodukt hier den Abstand unseres zweiten Vektors von der y-Achse an.

Zeigt der Vektor $\overrightarrow{n}$ in positive y-Achse, gibt das Skalarprodukt den Abstand des zweiten Vektors von der x-Achse an.

Das Skalarprodukt scheint also immer den Abstand zu der Gerade anzugeben, dessene Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ ist und durch den Ursprung verläuft. Beträgt die Länge des Vektors $\overrightarrow{n}$ allerdings nicht $1$, scheint unsere Abstandsbestimmung nicht mehr zu funktionieren.

Ist die Länge von $\overrightarrow{n}$ 2, scheint unser Abstand doppelt so groß zu sein. Es stellt sich herraus, dass man das Skalarprodukt noch durch die Länge von $\overrightarrow{n}$ teilen muss, damit man den echten Abstand erhält.

$$d(P, g) = \frac{\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{P}}{\vert \overrightarrow{n} \vert}$$

Das Skalarprodukt liefert uns also neben dem Winkel zwischen zwei Vektoren auch den Abstand eines Vektors / Punktes zu jeder beliebigen Gerade, welche durch den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ beschrieben ist.

Dieses Phänomen lässt sich auch mit der anderen Darstellungsform des Skalarprodukts erklären.

$$\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{P} = \vert \overrightarrow{n} \vert \cdot \vert \overrightarrow{P} \vert \cdot cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{P})$$

Die Definition des Skalarprodukts beginnt mit dem Produkt der Längen der beiden Vektoren. Demnach wäre ohne den Kosinus das Skalarprodukt sehr groß, wenn die Längen der beiden Vektoren sehr groß sind. Jetzt wird dieses Produkt allerdings noch mit dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren multipliziert. Dadurch wird das Skalarprodukt sehr klein, sollte der Winkel gegen 90° gehen, da der Kosinus bei 90° = 0 ist. Je näher der Punkt P (A in der Simulation) der Geraden kommt, desto näher kommt der Winkel zwischen den beiden Vektoren an 90° heran. Dieses Verhältnis zwischen Produkt der beiden Vektoren und dem Kosinus zwischen den beiden Vektoren scheint sich so auszugleichen, dass am Schluss der Abstand des Punktes A von der Geraden herauskommt.

Die Gerade verläuft bisher allerdings immer durch den Ursprung. Durch einfache Subtraktion können wir durchaus auch den Abstand zu einer Gerade $g$ berechnen, welche nicht durch den Ursprung verläuft. Es sei $g$ eine Gerade mit Aufpunkt $A$, welche an beliebiger Stelle im Raum liegt. Es sei $h$ eine Gerade, welche durch den Ursprung verläuft, mit gleichem Normalenvektor wie $g$. Wir ziehen den Abstand des Aufpunkts $A$ zu $h$ vom Abstand eines beliebigen Punktes $P$ zu $h$ ab, um den Abstand von $P$ zu $g$ zu erhalten.

$$d(P, g) = \frac{\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{P}}{\vert \overrightarrow{n} \vert} - \frac{\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{A}}{\vert \overrightarrow{n} \vert} = \frac{\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{P} - \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{A}}{\vert \overrightarrow{n} \vert} = \frac{\overrightarrow{n} (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A})}{\vert \overrightarrow{n} \vert}$$

(Genaugenommen müssen noch Betragsstriche drum rum, denn der Abstand ist immer positiv.)

Kommt uns das bekannt vor? Richtig! Das ist die hessesche Normalenform der Ebene! Unsere Normalenform ist nichts anderes, als zwei voneinander abgezogene Skalarprodukte und somit die Subtraktion der zwei Distanzen! Zwar bezogen wir uns bisher nur auf Abstände zu Geraden, mit Ebenen ist es allerdings genau das selbe!

Die Normalenform war bisher $= 0$ gesetzt, um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt. Das macht auch völlig Sinn, denn wenn ein Punkt auf der Ebene ist, beträgt seine Distanz zu dieser $0$!

Das Teilen durch die Länge des Normalenvektors ist genau das, was Otto Hesse mit seiner hesseschen Normalenform gemacht hat. Somit ist die hessesche Normalenform die direkte Funktion zur Abstandsbestimmung eines Punktes von einer Ebene!

Annährung an die hessesche Normalenform über Trigonometrie

Es gilt:

$$d = \vert \overrightarrow{AP} \vert \cdot cos(\varphi)$$

Den Kosinus können wir auch mit dem Skalarprodukt berechnen.

$$cos(\varphi) = \frac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert}$$

In unserem Fall

$$cos(\varphi) = \frac{\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{AP}}{\vert \overrightarrow{n} \vert \cdot \vert \overrightarrow{AP} \vert}$$

Wir gehen nun davon aus, dass der Normalenvektor bereits die Länge $1$ hat, und setzen den Kosinus über das Skalarprodukt in unsere Formel für die Distanz ein.

$$d = \vert \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{AP} \vert = \vert \overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \vert$$

(Es wurden noch Betragsstriche hinzugefügt, damit die Distanz immer positiv ist)

Kommt uns das bekannt vor? Exakt: Das ist die Ebenengleichung in Normalenform! Auch hier können wir durch die Länge des Normalenvektors teilen, um den Abstand für beliebige Normalenvektoren zu bestimmen.

Abschließende Worte

Die hessesche Normalenform anzuwenden ist eine Leichtigkeit, auch ohne diesen Beitrag. Für Menschen wie mich, die immer alles ganz genau wissen wollen und verstehen wollen, was hinter den Kulissen geschieht, ist er vielleicht aber ganz nützlich!