Einführung zu den Ebenen

Stelle dir einmal deinen Raum um dich herum vor. Warscheinlich sitzt du gerade vor irgendeinem Tisch. Vielleicht sitzt du gerade im Bus. Egal wo du bist, überall um dich herum sind Ebenen. Deine Tischplatte ist eine Ebene. Der Boden des Busses ist eine Ebene. Auch der Bildschirm des Geräts über welches du diesen Beitrag liest ist eine Ebene.

In GeoGebra sehen Ebenen wie folgt aus:

Bewege die Simulation um einen Eindruck der Tiefe zu bekommen.

Unsere bisher behandelten Geraden wurden durch zwei Punkte fest bestimmt. Nur zwei Punkte bestimmen eine Ebene allerdings nicht fest, wie in der nächsten Simulation gezeigt.

Angabe einer Ebene durch drei Punkte

Durch drei Punkte können wir eine Ebene allerdings wieder eindeutig bestimmen. Eine Einschränkung gilt: Die drei punkte müssen unterschiedlich sein!

Somit haben wir bereits eine von mehreren Darstellungen der Ebene erkundet.

Darstellung durch zwei Richtungsvektoren - Die Parameterform

Ähnlich wie bei den Geraden, welche wir mit einem Aufpunkt und einem Richtungsvektor definiert haben, können wir auch die Ebene mit einem Aufpunkt, dafür allerdings zwei Richtungsvektoren definieren. Diese Darstellung wird Parameterform genannt.

In der Simulation ist die Ebene durch den Punkt $A$ und die beiden Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ eindeutig bestimmt.
Durch eine kleine Anpassung unserer Geradengleichung können wir sehr einfach eine Ebenengleichung formulieren:

Geradengleichung: $\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda\cdot\overrightarrow{u}$

Zusätzlich zu unserem ersten Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ kommt jetzt ein weiterer Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$. Somit gewinnen wir einen weiteren Grad an Freiheit und können unsere Ebene ausdrücken.

Ebenengleichung: $\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda\cdot\overrightarrow{u} + \mu\cdot\overrightarrow{v}$

Darstellung durch den Normalenvektor - Die Normalenform

Als letztes, aber definitif nicht am wenigsten wichtig, ist die Normalenform der Ebenengleichung. Um eine Gleichung eindeutig zu bestimmen brauchen wir nämlich gar nicht unbedingt zwei Vektoren! Ein Vektor, welcher senkrecht auf der Ebene steht, reicht völlig aus, um diese eindeutig zu bestimmen. Betrachte die folgende GeoGebra Simulation und versuche das Prinzip zu verstehen.

Zu dieser Normalenform kommen wir sehr einfach über das Kreuzprodukt. Haben wir bereits die zwei Richtungsvektoren der Ebene gegeben, können wir über das Kreuzprodukt dieser den Normalenvektor ausrechnen, da das Kreuzprodukt einen Vektor zurück gibt, der genau senkrecht auf den beiden Vektoren steht.

Sind zwei Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ gegeben, berechnet sich der Normalenvektor durch $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$.

Der Normalenvektor ist äußerst praktisch, falls wir prüfen wollen, ob ein Punkt auf unserer Ebene liegt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist $0$, solange sie senkrecht zueinander liegen / der Winkel zwischen den Vektoren $90\degree$ beträgt. Wir prüfen Punkt $X$. Zu Beginn berechnen wir den Vektor von Aufpunkt $A$ der Ebene zu unserem Punkt $X$. Ist das Skalarprodukt zwischen diesem Vektor und unserem Normalenvektor $0$, sind die beiden Vektoren senkrecht zu einander und der Punkt liegt somit auf der Ebene.

Das ergibt die folgende Gleichung:

$0 = \overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A})$

Diese Simulation veranschaulicht das Skalarprodukt für einen beliebigen Punkt X auf einer Ebene mit Normalenvektor

Die Koordinatenform

Die Normalenform können wir nun in die letzte, die Koordinatenform umwandeln. Dazu schreiben wir das Skalarprodukt aus.

$$n_1 \cdot (x_1 - a_1) + n_2 \cdot (x_2 - a_2) + n_3 \cdot (x_3 - a_3) = 0$$

Das können wir jetzt ausmultiplizieren.

$$n_1 \cdot x_1 - n_1 \cdot a_1 + n_2 \cdot x_2 - n_2 \cdot a_2 + n_3 \cdot x_3 - n_3 \cdot a_3 = 0$$

Umgeschrieben ergibt sich folgende Gleichung:

$$n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 - (n_1 \cdot a_1 + n_2 \cdot a_2 + n_3 \cdot a_3) = 0$$

Wir fassen nun die Klammer inklusive $-$ zusammen und nennen sie $c$.

$$n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 + c = 0$$

Das ist die Koordinatenform. Hinter ihr stecken noch einige interessante Erkenntnisse und Funktionen. Diese werde ich in einem späteren Beitrag nocheinmal genauer untersuchen!

Umwandlungen von Form zu Form

In verschiedenen Situationen sind unterschiedliche Darstellungsformen der Ebene sinnvoll. Deshalb müssen wir sie gegebenenfalls umwandeln.

Von drei Punkten zur Parameterform

Von drei Punkten $A$, $B$ und $C$ kommen wir recht einfach zur Parameterform. Als Aufpunkt suchen wir uns einen der drei gegebenen Punkte (z.B. $A$) aus. Die Richtungsvektoren bestimmen wir dann einfach durch $B-A$ und $C-A$.

Von der Parameterform zur Normalenform

Wir wissen, dass die beiden Richtungsvektoren der Parameterform parallel zur Ebene liegen. Aus diesen müssen wir jetzt unseren Normalenvektor berechnen. Zu diesem kommen wir wie beschrieben mit dem Kreuzprodukt.

Von der Normalenform zur Koordinatenform

Bei der Herleitung der Koordinatenform wurde bereits die Umformung durch einfache Äquivalenzumformungen gezeigt. In der Praxis dauert das allerdings häufig zu lange und es gibt auch einfachere Wege. Zur Umrechnung setzen wir unseren bereits in der Normalenform existierenden Normalenvektor in die allgemeine Formel der Koordinatenform ein. Um die Konstante c zu berechnen, setzen wir einen Punkt, welcher auf der Gerade ist (vorzugsweise den Aufpunkt) ein und formen nach c um.

Von der Normalenform zur Parameterform

Um von der Normalenform zur Parameterform zu gelangen müssen wir die zwei Richtungsvektoren berechnen. Durch einen Trick gelingt das sehr einfach. Wir können einen Vektor $\overrightarrow{v}$, der senkrecht auf einem anderen Vektor $\overrightarrow{u}$ steht erzeugen, in dem wir zwei Komponenten des Vektors $\overrightarrow{u}$ vertauschen, einen davon negieren, und den letzten auf 0 setzen.

$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \to \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \to \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Somit können wir von unserem Normalenvektor auf die zwei Richtungsvektoren schließen und unsere Parameterform aufstellen.

Abschließende Worte

Wir haben nun drei Darstellungsformen der Ebene besprochen.

Wie immer: Übung macht den Meister! Also macht immer schön eure Hausaufgaben :)