In diesem Beitrag wollen wir uns ein wenig mit Geraden beschäftigen ;).

Geraden existieren, no shit sherlock! Aber wo sind sie? Wo liegen sie? Wie liegen sie, vorallem zueinander? Das gilt es heute herauszufinden.

Im Zweidimensionalen ist das alles noch ein wenig einfacher. Dort gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Sie schneiden sich
2. Sie schneiden sich nicht

Zweidimensionaler Raum

Wenn sich zwei Geraden im zweidimensionalen Raum nicht schneiden, müssen sie automatisch parallel zueinander liegen! Das verdeutlicht auch diese GeoGebra Simulation:

Hier seht ihr 3 Geraden. Zwei dieser Geraden sind parallel zueinander (f und h). Die Gerade g schneidet die beiden anderen Geraden h und f. An diesem Punkte sollte es recht deutlich sein, dass sobald zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, sie sich nie schneiden werden. Sobald f und h auch nur ein ganz, ganz, ganz kleines bisschen "nicht-parallel" zueinander verlaufen, würden sie sich irgendwann ganz, ganz, ganz weit weg schneiden. g und f, oder auch g und h, sind nicht parallel zueinander und schneiden sich deshalb.

Dreidimensionaler Raum

Im dreidimensionalen Raum sieht das jetzt alles ein klein wenig anders aus. Um die Problematik zu verdeutlichen stellen wir uns die Frage: Schneiden sich zwei Geraden im dreidimensionalen Raum, sobald sie nicht parallel zueinander liegen?

Anfags könnte es den Anschein machen, dass diese Aussage wahr ist:

Zu sehen sind zwei Geraden, welche nicht parallel verlaufen und sich schneiden.

Hier ist allerdings noch ein zweites Beispiel von zwei Geraden, welche genauso nicht parallel zueinander liegen.

Sieh an sieh an, schau schau (Kleine Känguru Chroniken Anspielung ;), zwei Geraden, welche nicht parallel zueinander liegen, aber sich trotzdem nicht schneiden. Sieht so aus, als würden die Dinge im Dreidimensionalen etwas anders funktionieren.

Im Dreidimensionalen müssen wir tatsächlich vier Fälle unterscheiden!

1. Zwei Geraden sind parallel zueinander und schneiden sich. Denkt mal kurz darüber nach. Zwei Geraden sind parallel, also verlaufen in die selbe Richtung. Gleichzeitig schneiden sie sich. Eine Idee? Sie müssen gleich sein!
2. Zwei Geraden sind parallel zueinander, aber schneiden sich nicht.
3. Zwei Geraden sind nicht parallel zueinander und schneiden sich.
4. Zwei Geraden sind nicht parallel zueinander, aber schneiden sich nicht. Diese Möglichkeit wird auch "windschief" genannt. Daher die Beschreibung des Beitrags!

Diese vier Möglichkeiten kann man verhältnismäßig einfach untersuchen. Zu Beginn wollen wir prüfen, ob zwei Geraden parallel zueinander verlaufen oder nicht. Das können wir mit der linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren prüfen!

Sind sie linear abhängig (parallel zueinander), beziehen wir uns auf die ersten beiden Fälle. Nun können wir prüfen, ob sich die beiden Geraden schneiden, indem wir sie gleichsetzen. Sind sie linear unabhängig, behandeln wir die unteren beiden Fälle. Auch dort setzen wir die Geraden gleich und prüfen auf Schnittpunkte.

Übungen

In diesem Blogbeitrag ging es bis jetzt größtenteils um die Theorie. Aber: Übung macht den Meister! Also auf gehts!

Aufgabe 1 (Zweidimensionaler Raum)

Ab hier geht es um Aufgaben im dreidimensionalen Raum. Du kannst dir die Lösung der zweiten Aufgabe gerne zur Hand nehmen, falls du noch nicht genau weist, wie du die Theorie anwenden sollst.

Aufgabe 2 (Dreidimensionaler Raum)